高二数学命题及关系知识点
导语:无论掌握哪一种知识,对智力都是有用的,它会把无用的东西抛开而把好的东西保留住。下面是小编为大家整理的,数学知识,希望对大家有所帮,欢迎阅读,仅供参考,更多相关的知识,请关注CNFLAz学习网!
一、知识梳理知识点一 命题及四种命题
1、命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假 的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.
注意:
命题必须是陈述句,疑问句、祈使句、感叹句
都不是命题。
2.四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系.
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性无关.
注意:(补充)
1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题
知识点二 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件的概念
(1)充分条件:
pq 则p是q的充分条件
即只要有条件p就能充分地保证结论q的成立,
p成立就足够了,即有它即可。 亦即要使q成立,有
(2)必要条件:
pq 则q是p的必要条件
pqqp
即没有q则没有p,亦即q是p成立的必须要有的条件,即无它不可。
(补充)(3)充要条件
pq且qp即pq
则
“p、q互为充要条件(既是充分又是必要条件)
p”等 p是q的充要条件”也说成“p等价于q”、 “q当且仅当
(补充)2、充要关系的类型
(1)充分但不必要条件
定义:若pq,但qp,
p是q的充分但不必要条件; 则
(2)必要但不充分条件
定义:若 q
则p,但pq, p是q的必要但不充分条件
(3)充要条件 定义:若 pq,且qp,即pq,
p、q互为充要条件; 则
(4)既不充分也不必要条件
定义:若pp, q,且q
p、q互为既不充分也不必要条件. 则
3、判断充要条件的方法:
①定义法;②集合法;③逆否法(等价转换法). 逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性
集合法----利用集合的观点概括充分必要条件 若条件p以集合A的形式出现,结论q以集合B的形式出现,则借助集合知识,有助于充要条件的理解和判断.
(1)若AB,则p是q的充分但不必要条件
(2)若BA,则p是q的必要但不充分条件
B,则p是q的`充要条件
(4)若AB, B,且A
则p是q的既不必要也不充分条件 (3)若A(补充)简记作----若A、B具有包含关系,则
(1)小范围是大范围的充分但不必要条件 (2)大范围是小范围的必要但不充分条件
二、例题分析
(一)四种命题及其相互关系
例1.(1) 命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题
是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
例1.(2)下列命题中正确的是( )
①“若a≠0,则ab≠0”的否命题;
②“正多边形都相似”的逆命题;
③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题; ④“若x-3是有理数,则x是无理数”的逆否命题.
A.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④
例1.(3)
(2014·陕西卷)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,
则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真 B.假,假,真
C.真,真,假 D.假,假,假
问题2
四种命题间关系的两条规律
(1)逆命题与否命题互为逆否命题;
互为逆否命题的两个命题同真假.
(2)当判断一个命题的真假比较困难时, 可转化为判断它的逆否命题的真假.
同时要关注“特例法”的应用.
例2.(1)(补充)
(2011山东文5)已知a,b,c∈R,命题“若abc=3, 222则abc≥3”的否命题是( ) ...
222(A)若a+b+c≠3,则abc<3 12
(B)若a+b+c=3,则a2b2c2<3
(C)若a+b+c≠3,则a2b2c2≥3
(D)若a2b2c2≥3,则a+b+c=3
[来源XK]
例2.(2)(补充)
命题:“若xy0,则x0或y0”的否定是:________ ..
注意:命题的否定与否命题的区别
(二)充要条件的判断与证明
例1.(1)(补充) (07湖北)已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件。现有下列命题:①s是q的充要条件;②p是q的充分条件而不是必要条件;③r是q的必要条件而不是充分条件;④p是s的必要条件而不是充分条件;⑤r是s的充分条件而不是必要条件,则正确命题序号是( )
A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤ pq
注意: 1、利用定义判断充要条件
方法一 定义法
定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题
——“若p,则q”与“若q,则p”的判断,
根据两个命题是否正确,来确定p与q之间的充要关系. pq 则p是q的充分条件;
q是p的必要条件
2、利用逆否法判断充要条件
方法三 等价转化法
当所给命题的充要条件不好判定时,可利用四种命题的关系,对命题进行等价转换.常利用原命题与逆命题的真假来判断p与q的关系.令p为命题的条件,q为命题的结论,具体对应关系如下:
①如果原命题真而逆命题假,
那么p是q的充分不必要条件;
②如果原命题假而逆命题真,
那么p是q的必要不充分条件;
③如果原命题真且逆命题真,
那么p是q的充要条件;
④如果原命题假且逆命题假,
那么p是q的既不充分也不必要条件.
简而言之,逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性
例1.(2)(2014·北京卷)设{an}是公比为q的等比数列. 则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
例1.(3)(2014·湖北卷)设U为全集.A,B是集合,则“存在集合C使得AC,B∁UC”是“A∩B=”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
例1.(4)
已知p:-4
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
注意:
3、利用集合法判断充要条件
方法二 集合法
涉及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合相关的命题时,一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间的充要性.具体对应关系如下:
若条件p以集合A的形式出现,结论q以集合B的形式出现,则借助集合知识,有助于充要条件的理解和判断.
(1)若AB,则p是q的充分但不必要条件
p是q的必要但不充分条件
(3)若AB,则p是q的充要条件
(4)若AB, B,且A
则p是q的既不必要也不充分条件 (2)若BA,则(补充)简记作----若A、B具有包含关系,则
(1)小范围是大范围的充分但不必要条件
(2)大范围是小范围的必要但不充分条件
log2x,x>0,例2. 例3函数f(x)=x有且只有一个零2-a,x≤0
点的充分不必要条件是( )
11A.a≤0或a>1 B.0
练习:(补充)
已知p:x3且y2,q:xy5,则p是q的 条件。